一、引入
解一元二次方程(或高次方程)的主要思想是降次,将一元二次方程转化为一元一次方程求解,配方法是通过配方将方程变为(x+n)²=p的形式,再通过开方进行降次。那么是否还存在其他的降次方法那?
在学习因式分解时,我们知道,对于一些特殊形式的多项式,可以采用提公因式、平方差、完全平方公式或十字相乘法(※)等,将其分解成几个因式的乘积的形式。那么对于一个二次式,我们就可以尝试将其分解成两个一次式的乘积。再基于以下事实,便可达到降次的目的:
如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个等于0
即若A·B=0,则A=0或B=0
比如x²+3x=0,通过因式分解,将其变形为x(x+3)=0,则可以得到x=0或x+3=0,这样就将一元二次方程,转化为两个一元一次方程求解。
重播播放00:00/00:00直播00:00进入全屏50点击按住可拖动视频二、因式分解法的概念及典型例题
1、因式分解法的概念
像这样,先因式分解,将方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
2、典型例题
【注】
(1)利用了提公因式法
(2)利用平方差公式
(3)利用了完全平方公式
(4)利用了十字相乘法(※)
3、一些理解
①对于常数项为0的一元二次方程,利用提公因式法较为简便;
即将ax²+bx=0,变形为x(ax+b)=0
②因式分解时,要培养整体思想
比如:
x(x-2)+x-2=0可将x-2这个多项式看作公因式提出
(x-4)²-(5-2x)²=0,可将x-4看作a,5-2x看作b利用平方差公式分解
(x-1)²-2(x-1)+1=0,可将x-1看作一个整体,利用完全平方公式分解
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